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1. CDF - 累积分布函数
2. PDF - 概率密度函数
3. PMF - 概率质量函数
4. CDF 与 PDF 的关系

CDF - 累积分布函数（Cumulative distribution ）

定义：随机变量X，对任意实数 $x_0$ ，称函数

$F(x) = P(X≤x)$ 或 $F_X(x)$

为X的概率分布函数，简称分布函数，任何随机变量都有相应的分布函数。

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1. $F(x)$ 的性质
2. 四条常用计算公式
3. $F(x)$的几何意义

• $F(x)$ 的性质：

  • $0\leq F(x) \leq 1$

  • $F(x)$ 单调不减

    ​ $\because F(x_2) - F(x_1) = F(x_1 0$

  • $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$

  • $F(x)$是右连续函数，即 $F(x+0) = F(x)$

• 四条常用计算公式
  • $P(a＜X ≤ b) = F(b) - F(a)$
  • $P(a \leq X < b) = F(b-0) - F(a-0)$
  • $P(a＜X < b) = F(b-0) - F(b)$
  • $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a-0)$

• $F(x)$的几何意义

  函数的几何意义就是随着x的增加对于事件发生概率的一个累积，当$\begin{cases} x \rightarrow - \infin, F(x) = 0 \ x\rightarrow +\infty, F(x)=1\end{cases}$

  

• 对于离散型随机变量

  

  

  一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数，$F(x)$ 在$x=x_k,(k=1,2,…)$处有跳跃，其跳跃值为$p_k = P${$X=x_k$}，因此对于某一个点的概率可求， $P(X=x_k) = F(x_k)-F(x_{k-1})$

• 对于连续型随机变量

  

  连续型随机变量的CDF，一般地，对于某一个点的概率需对其CDF求导来求。

PDF - 概率密度函数（Probability Density Function）

定义：对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，若存在非负的函数 $f(x)$ ，使对于任意实数 $x$ 有：

$F(x) = \int_{-\infty}^xf(t) dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量，其中 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度，有时也写为 $f_X(x)$

• 只有连续型随机变量才有PDF，PDF对应的一定是连续型随机变量

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1. $f(x)$的性质
2. $f(x)$的几何意义
3. “支撑” 的概念

• $f(x) $ 的性质：

1. $f(x) \geq 0$

2. $\int_{-\infty}^{+\infin}f(x) dx = 1$

   $\because F(+\infin) = 1$

3. $\forall x_1,x_2(x_1<x_2)$

   $P(x_1<X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$

   $\Rightarrow \forall a,P(X=a)=0$ “在任意一点上的面积为0”

4. 在 $f(x)$ 连续点 $x$ ，$F’(x) = f(x)$

   $f(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$

   当 $\Delta x$很小时，$P(x < X \leq x+ \Delta x) \approx f(x)·\Delta x$

   即表示 $X$ 落在点 $x$ 附近 $(x, x+ \Delta x]$ 的概率近似等于 $f(x) \Delta x$

• $f(x)$ 的几何意义：

  函数区域内的面积（积分），即为该区域的概率，所以有$\int_{-\infty}^{+\infin}f(x) dx = 1$

• “支撑” 的概念：

  因为 $F(x)$ 单调不减，所以 $f(x) \geq 0$ 恒成立，对于 $f(x)>0$的部分，即为 $X$ 的取值范围，称为“支撑”

如何理解？我们先看 $F(x)$ ，$F(x)$ 不增的部分就对应着 $f(x)=0$的部分。

对于 $F(x)$ 不增即 $X$ 是取不到那个范围的，因为概率根本没有增加，而对于 $F(x)$ 增的部分肯定是 $X$ 能取到的地方，所以概率才会增加，即 $f(x)>0$ 的部分，就是这些部分支撑着整个 $F(x)$ 呈现上升趋势，支撑着 $f(x)$ 大于 0（拱起来），所以称它为支撑。

PMF - 概率质量函数（Probability Mass Function）

CDF 与 PDF

CDF - 累积分布函数

$f(x) = P(X \leq x)$

PDF - 概率密度函数

$F(x) = \int_{- \infin}^xP(X \leq x)$

PDF是CDF的积分，CDF是PDF的求导

• CDF

• PDF

  

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